Деление многочленов

Если заданы два многочлена

$Деление многочленов$

, то всегда существуют многочлены

$Деление многочленов$

(частное) и

$Деление многочленов$

(остаток), такие, что

$Деление многочленов$

, причем степень

$Деление многочленов$

меньше степени

$Деление многочленов$

или

$Деление многочленов$

. При этом

$Деление многочленов$

называется делимым, а

$Деление многочленов$

- делителем. Если же мы хотим, чтобы деление выполнялось без остатка, то придется допустить в качестве частного не только многочлены, но и бесконечные степенные ряды. Для получения частного надо расположить многочлены по возрастающим степеням

$Деление многочленов$

и делить "углом", начиная с младших членов. Рассмотрим, например, деление

$Деление многочленов$

на

$Деление многочленов$

Ясно, что процесс деления никогда не закончится ( так же, например, как при обращении числа

$Деление многочленов$

в бесконечную десятичную дробь). С помощью индукции легко убедиться, что все коэффициенты частного равны единице. Поэтому в качестве частного получается бесконечный ряд

$Деление многочленов$